Revista de literatura, arte y pensamiento sobre ciudades pequeñas y patines abandonados

Las matemáticas y el Acueducto de Segovia

Sobre técnicas, ingenios y matemáticas.

Capi Corrales

1. Introducción

Cuando Ramón Mayrata me pidió que escribiera un textito sobre el acueducto de Segovia, no sospeché que con esa petición, aparentemente inocente, Ramón me metía en el ojo de un huracán. Hace años que los especialistas en historia de las matemáticas llegaron a la conclusión de que en el Impero Romano no había habido matemáticas, esto es, no había habido gente que hiciese matemáticas en latín, así es que yo sabía de antemano que el acueducto se había hecho sin ellas. Lo que no sabía es que contarlo iba a llevarme a discutir tanto y con tantos amigos.

Luis Moro

Durante varias semanas estudié el acueducto y su construcción, y fui comprobando, una vez más, que los romanos eran excelentes constructores pero no eran matemáticos. Como es natural, en ese tiempo el tema salió a colación en distintas conversaciones con amigos no matemáticos, y en todas ellas acabé discutiendo, más o menos acaloradamente, con alguno de los contertulios. Porque resulta que, si por un lado, el acueducto de Segovia es uno de los ejemplos que mejor ilustran la diferencia entre matemáticas y técnica, por otro, precisamente en la diferencia entre matemáticas y técnica está la piedra con la que suelo tropezar desde hace años cuando converso sobre temas científicos con amigos.

He decidido dedicar estas líneas a dos de los amigos que en esta cuestión de las matemáticas del acueducto me llevaron la contraria con menor belicosidad y mayor convicción, Jesús Mazariegos y Ramón Guardans. Jesús me decía que en el acueducto hay proporciones, y defendía que las proporciones son matemáticas. Ramón argüía que doblar una tira de papel por la mitad y observar que la tira queda dividida en dos partes iguales es hacer matemáticas. Sus argumentos han acabado resultándome muy útiles para explicar la diferencia entre matemática y técnica.

2. Qué son las matemáticas

Las matemáticas, como decía con frecuencia uno de los mejores maestros que yo tuve, Miguel de Guzmán, son una manera de hacer. De hecho, la gente que nos dedicamos a ellas no decimos “estoy trabajando” o “estoy estudiando”, decimos “estoy haciendo matemáticas”, y somos de las pocas profesiones en que hablamos así. Esencialmente, el hacer matemático tiene cinco fases: observación, abstracción, construcción del modelo matemático, estudio del modelo matemático y aplicación de ese modelo matemático a la realidad.

Cuando unos ojos matemáticos o una mente matemática observan algo, lo hacen buscando patrones de comportamiento o estructuras que, una vez destilados, esto es, una vez se ha hecho abstracción sobre ellos, formen el esqueleto o andamio de un modelo matemático que permita entender en mayor profundidad lo que se está observando. Entre los fenómenos que han dado lugar a más y mejor matemática está, sin duda, el fenómeno de las proporciones, las relaciones que los diversos tamaños de las cosas y sus partes guardan entre sí. Por ejemplo, el origen del concepto de "irracionalidad" ó "inconmensurabilidad", considerada como una de las grandes contribuciones a las matemáticas de la Grecia presocrática, está en la observación de las proporciones entre las distintas magnitudes (tamaños de las cosas).

Hay dos dificultades grandes a la hora de estudiar cómo surgió entre los griegos la primera noción asociada a nuestro concepto de “número irracional”, un número que, como la raíz cuadrada de 2 o la proporción áurea, no se pueda describir con una fracción de números enteros. La primera es la falta de textos; de la época sólo contamos con el diálogo Teeteto de Platón ([Pla]) y, ya posteriores, Aristóteles y Proclo. No hay más. La segunda dificultad es que el interés por este tipo de cuestiones se desarrolla en dos entornos muy distintos y ninguno de ellos proclive a dejar testimonio escrito: el de los comerciantes y prestamistas, y el de los matemáticos y filósofos. Los primeros estaban interesados en el aspecto práctico de las cuestiones, y las actividades de los segundos estaban impregnadas de lo esotérico y el secretismo.

Luis Moro

Con completa seguridad, no se sabe ni tan siquiera cuál fue el primer caso de inconmensurabilidad que surgió. Fuentes antiguas dan como ejemplo clásico de irracionalidad el de la proporción entre la diagonal y el lado en un cuadrado. Pero esto no significa que no se conociesen otros y, de hecho, en ningún lugar se cita este caso como el primero conocido. Por ejemplo, sabemos que el pentágono era un símbolo pitagórico, y una fuente tardía cuenta como el pitagórico Hipaso de Mataponte, tras estudiar el dodecaedro pentagonal —la figura regular formada por doce pentágonos—, cometió la impiedad de divulgar la irracionalidad de la división continua sobre las diagonales del pentágono, por lo que fue lanzado al mar. Esta historia se considera hoy una leyenda, pues en ninguno de los textos que dejaron Platón y Aristóteles se menciona escándalo alguno asociado al concepto de inconmensurable. Pero. ¿cómo saber si la diagonal del pentágono vino después que la del cuadrado? Prestando atención a los textos y no a la tradición, sólo tenemos referencia, por Platón, de que Teodoro de Cirene (465- 399 a.C.) muestra a sus alumnos la irracionalidad de algunas magnitudes. En el diálogo Teeteto, el propio Teeteto relata como Teodoro les había mostrado a él y a un tocayo de Sócrates la inconmensurabilidad de los lados de los cuadrados de áreas comprendidas entre 3 y 17, y que a partir de ahí él mismo, Teeteto, había deducido que el número de inconmensurables de este tipo era infinito, y había buscado un nombre que darles. Así pues, lo único que sabemos con cierta seguridad, es el que la existencia de magnitudes inconmensurables en matemáticas se conocía ya en la mitad del siglo V a.C.

En el año 300 a.C, el alejandrino Euclides recopiló en su libro Elementos ([Eu]) todas las matemáticas que se sabían hasta ese momento. A través de este libro sabemos que para los griegos clásicos había números naturales, había magnitudes, había relaciones entre números naturales y había relaciones entre magnitudes. Y no había más. En Elementos, Euclides (o quien fuera que escribiese el libro X) nunca define las relaciones entre los números; las da por supuestas, como si fuesen parte misma del lenguaje. Con respecto a la relación entre magnitudes, nos dice que dos magnitudes se dicen "conmensurables", con medida común, si existe una unidad de medida común a ambas, es decir, una unidad que se pueda operar un número finito de veces en cada una de ellas. De hecho, en el libro X, 1-2, se describe un método para decidir si dos magnitudes son conmensurables y, si lo son, cómo hallar la mayor medida común a ellas. Este método, conocido como el algoritmo de Euclides, es el mismo que se enseña hoy en la escuela para calcular el máximo común divisor entre dos números. Euclides también demuestra, en las proposiciones 5 a 8, que dos magnitudes son conmensurables sí y solamente sí guardan entre ellas la relación (ya se ha mencionado que nunca definida) entre dos números.

Todas estas cuestiones, consideradas la gran contribución a las matemáticas de los griegos presocráticos, surgieron, precisamente, de la observación y estudio de las distintas proporciones, pero las proporciones, en sí, no son matemáticas. Han dado lugar a matemáticas muy importantes, pero ellas en sí no lo son. Por eso, el que un objeto material, ya sea un acueducto, un traje diseñado por Sybila o un libro de poemas, tenga proporciones, no garantiza que tenga matemáticas.

Por otro lado, doblar una tira de papel por la mitad y observar que la tira queda dividida en dos partes iguales podría, sin duda, ser un primer paso de una espléndida actividad matemática. Pero si tras esa primera observación no viene un proceso de reflexión y abstracción, doblar un papel sin más, por mucho primor con que se haga, no es más que doblar un papel. La cocotología —arte de hacer pajaritas— en España ([Un]), y la papiroflexia —arte de doblar papel— en Japón, por poner dos ejemplos, han dado lugar a mucha matemática y muy buena. Si seguimos el vuelo matemático de una pajarita (lo describe estupendamente, por ejemplo, José Ignacio Royo Prieto en [Ro]), llegamos a tres terrenos matemáticos muy fértiles: el de la papiroflexia modular —que construye poliedros—, el de la geometría plana de los puntos que se pueden construir doblando papel, y el de las matemáticas utilizadas por los mejores plegadores del mundo para diseñar sus modelos. Pero hay también muchísimas figuras que se han hecho doblando papel utilizando exclusivamente la técnica y sin matemáticas, ya sea porque quien las hizo aprendió el cómo sin más, ya sea porque surgieron a base de probar hasta acertar, sin atar cabos o pensar sobre lo que se iba haciendo en el proceso.

3. Cómo hacer un acueducto sin matemáticas

“Los Griegos colocaban al geómetra en el lugar de honor máximo; de acuerdo con esta mentalidad, ningún progreso era más brillante que el de las matemáticas. Pero nosotros hemos limitado este arte a su utilidad para medir y contar”

Cicerón, Tusculanian Orations

“Comparad, si os parece, las numerosas moles de las conducciones de agua, tan necesarias, con las ociosas pirámides, o bien con las inútiles, pero famosas, obras de los griegos”

Frontino , De aquae ductus urbis Romae I-16.

“Aquae ductus: Provee la necesidad de hallar agua, cargarla, transportarla, conservarla, distribuirla y evacuarla a través de un sistema.”

Glosario de términos de ingeniería civil, técnica, industria y oficios en latín, [EV]

Luis Moro

La época de la construcción del acueducto de Segovia puede deducirse gracias a las inscripciones, en letras de bronce y colocadas una a cada lado del acueducto, de las que sólo se conservan los huecos tallados en los sillares para fijarlas a la piedra. En 1992, el epigrafista Géza Alföldy [Al] propuso una posible reconstrucción del texto de las mismas (igual para ambas y sólo con una ligera diferencia en la distribución de líneas). En castellano:

“Por orden del emperador Nero Trajano César Augusto Germánico, Pontífice Máximo, con tribunicia potestad por segunda vez, cónsul por segunda vez, padre de la patria, Publiuo Numio Numianis y Publio Favio Taurus, duunviros municipales flavios segovianos, reconstruyeron el acueducto.”

Por los títulos que exhibe el emperador en esta leyenda, Alföldy deduce que se colocó en el año 98 d.C., y supone que debió construirse durante el imperio de Domiciano (1-96 d.C.), que murió en el año 96 con el acueducto casi terminado pero sin inscripción. Su sucesor Vera gobernó durante un período efímero (de septiembre de 96 a enero de 98), y Trajano (98-117 d.C.) ordenó colocar la leyenda sin atribuirse la construcción, sólo la reconstrucción o finalización del mismo.

El acueducto de Segovia consiste en un azud para la toma de agua y un canal para transportarla y distribuirla de una longitud total de 14.965 m. Durante los 14.007 primeros, el canal va sobre muros, y en el último se eleva sobre un acueducto elevado, formado por arcos primero de uno y después de dos pisos, llegando a alcanzar una altura máxima próxima a los 30 m. En Supervivencia de una obra hidráulica, El acueducto de Segovia ([Ra]), Aurelio Ramírez Gallardo nos da todos los detalles sobre él.

Los especialistas Ignacio González Tascón e Isabel Velázquez nos cuentan en [Go] y [G-V], cómo para encauzar las aguas superficiales hacia el canal artificial que las conduciría hasta el destino deseado —los depósitos de la ciudad de Segovia, en este caso—, los ingenieros romanos levantaban en el cauce del arroyo unas estructuras o diques que tenían generalmente una altura modesta y que hoy denominamos azudes. El azud de toma del acueducto de Segovia, que deriva las aguas del río Frío (llamado allí Acebeda), presenta una característica que perdurará durante muchos siglos en los azudes de nuestra península sin apenas sufrir variaciones. Su planta, en lugar de ser perpendicular al eje del río —lo que sin duda ahorraría materiales de construcción—, manifiesta un esviaje de alrededor de 45°. Esto facilita tanto el encauzamiento del agua del río hacia el canal, como la construcción del propio azud, pues al ofrecer mayor superficie de aliviadero, hace que disminuya la altura de la lámina de agua que vierte. El azud está coronado por grandes losas de granito, unidas mediante grapas de hierro que fabricaba en su forja el herrero. La construcción de este tipo de azudes no requería matemáticas, tan sólo sentido común, técnica y práctica.

Una vez encauzada el agua, la conducción se hace sobre el terreno a través de canales (specus) cubiertos con un mortero impermeable hecho con cal y polvo de ladrillo, inventado en la ciudad de Signia, en el Lacio. Cuando el terreno en que se asienta el specus desciende, para mantener aproximadamente uniforme la pendiente del canal, se levantaba un muro de fábrica llamado substructio. Los muros constituyen una solución económica para alturas pequeñas de hasta unos 3 m. A partir de esa altura resulta más barata y segura la construcción de arquerías elevadas —las arcuatione.

En general, la construcción romana se apoyaba en tres soportes: la práctica adquirida, el conocimiento empírico y los conocimientos teóricos asimilados a partir de la tecnología griega y oriental, desarrollada y perfeccionada. En el caso concreto de los acueductos, los romanos construyen respetando la ley de la gravedad, y mueven el agua sólo por caída. Para construir el acueducto de Segovia hubo que tener en cuenta tres aspectos, ninguno de los cuales requería de las matemáticas para ser estudiado y, en caso de suponer un problema, resuelto:

A lo largo de todo el trayecto se utilizaron fundamentalmente dos tipos de maquinaria: las máquinas de achique de agua, (las llamadas tympanum, ciconia, rotae, cochlea y sipho), y los instrumentos de nivelación. No hay más que ver los artilugios y estudiar cómo funcionan, para darse cuenta de que ninguno de ellos requería de las matemáticas para ser utilizados. Veamos un par de ejemplos de máquinas de achique.

Tympanum. Es un cilindro hueco dividido por tablas en ocho sectores o compartimentos estancos. El agua se toma por la parte exterior o llanta y se vierte por un orificio próximo a su eje. Se acciona pisando sobre travesaños situados en su llanta exterior.

Ciconia. Consiste en una pértiga apoyada sobre una robusta viga horizontal que le permite oscilar a voluntad de la persona encargada de manejarla. Del extremo de la pértiga cuelga el recipiente para extraer el agua, y en el lado opuesto se encuentra un contrapeso para que, una vez lleno el recipiente, el conjunto permanezca equilibrado y el agua se pueda elevar sin esfuerzo. Se llama sí porque el movimiento de la máquina recuerda el de la cabeza de la cigüeña.

Para definir la traza del acueducto se necesitaba realizar una cuidadosa nivelación del terreno, cometido que llevaban a cabo unos topógrafos especializados, que necesitaban asegurarse de que había desnivel suficiente para llevar el agua a la ciudad. Utilizaban instrumentos como la libella, formada por tres piezas de madera en forma de “A”. Las dos patas eran iguales, y el travesaño horizontal estaba graduado. Para utilizarlo bastaba con saber leerlo y, a lo sumo, echar alguna cuenta.

Luis Moro

Todo el acueducto hasta el pilar 101 (la arquería tiene un total de 120 pilares) está cimentado en gneis glandular y a partir de allí en arenisca del Albense. Sin embargo los romanos utilizaron para construirlo el granito, un material que tenían que transportar desde más lejos. La razón es que el granito era el material en el que más fácilmente podían labrar grandes sillares de caras planas con los instrumentos y técnicas de trabajo que tenían entonces. Si en la superficie de un bloque de granito se hacen con punteros unas pequeñas hendiduras alineadas, se introducen en ellas cuñas de madera y a continuación se mojan las cuñas, al poco tiempo, al hincharse la madera por efecto de la humedad, se produce un corte limpio por la línea que han marcado las cuñas. (Esta técnica se usa todavía utilizando máquinas perforadoras y cuñas metálicas). Como el granito es una roca isótropa, pueden hacerse cortes en todas las direcciones y sacar piezas de caras planas de cualquier orientación. Además, el granito utilizado en la construcción del acueducto de Segovia se tomó de bolos superficiales, no hizo falta extraerlo, y eso abarataba los costes y facilitaba el trabajo. Una vez se tenía la piedra granítica, era necesario convertirla en sillares o dovelas escuadradas, con el acabado necesarios para poder colocarse en la obra. El cantero era el encargado de ello. Utilizando la técnica que acabamos de escribir, tallaba los sillares, dándoles un acabado liso o almohadillado en función de si la cara iba a quedar oculta o visible. Después, tallaba con ayuda de un pequeño pico las muescas para poder elevarlo con las tenazas, o usaba un escoplo para tallar el hueco en que se iba a colocar la holivela. También era el responsable de aplicar la técnica de anathyrosis, vaciar ligeramente las caras laterales de cada bloque para asegurarse del contacto perfecto de los cuatro bordes de un sillar con el anterior y posterior de su misma hilada. Ninguno de estos trabajos requería tampoco de las matemáticas.

Nos queda sólo por describir la construcción de la impresionante arquería con que los constructores romanos resolvieron el problema de atravesar el valle, último escollo en el transporte del agua hasta el promontorio donde está ubicada la actual Plaza de Doña Juana, todavía conocida popularmente con el nombre de Plaza de las Arquetas, por haber estado allí el emplazamiento del aljibe final y las arquetas de distribución del agua. Este punto corresponde a la parte más alta de la ciudad y está estratégicamente situado entre los ríos Eresma y Clamores.

Los arcos están formados por dovelas de piedra. Se construyeron a hueso, esto es, sin argamasa entre las piedras, utilizando el apoyo provisional de una cimbra de madera. La cimbra se construía también sin necesidad de utilizar las matemáticas, como no necesita de las matemáticas, más allá de tomar unas cuantas medidas, el carpintero que hace una ventana. Una vez construida y colocada en su lugar la cimbra, se iba rellenando con las dovelas de piedra, como si de un rompecabezas se tratase. Leamos cómo los expertos en estas construcciones describen el proceso.

“Veamos el procedimiento que los arcuarii utilizaban para construir sus arcuationes en el campo de las obras públicas. Una vez levantadas las pilas de los puentes o acueductos, se apoyaba en ellas una cimbra de madera, que debía ser suficientemente robusta y estable para soportar el peso de las dovelas de piedra hasta colocar la última que cierra el arco, llamada clave.

La elección de las maderas más adecuadas para construir la cimbra no era asunto baladí; en Hispania se usaban con frecuencia las maderas de roble, castaño, fresno, olmo, haya, abeto y álamo. Elegidos los árboles adecuados, el lignarius o leñador procedía a la tala, podando el tronco hasta dejarlo limpio de ramas, que recibía entonces el nombre de grame. Entraba entonces en acción el dolabrarius (que manejaba el hacha) y el serrarius (que se servía de su sierra de hierro) encargado de transformar el tronco del árbol abatido en tablones escuadrados aptos para construir la cimbra.

Después el carpintero, ayudado por el aserrador, cortaba la madera y ensamblaba las diferentes piezas hasta conseguir dar forma adecuada a la cimbra. Construir grandes y robustas estructuras de madera —de hasta 30 m de luz—, requería sin duda un alto conocimiento de las uniones de la madera tanto a tracción como a compresión, y aunque por su naturaleza efímera ninguna cimbra romana ha llegado hasta nosotros, ni tampoco disponemos de información en los tratados clásicos de Vitrubio o Frontino, es posible hacernos una idea de su apariencia basándonos en las huellas dejadas por los mechinales (huecos dejados en la piedra para encajar los tablones) o los canes (piedras salientes dejadas en voladizo para apoyarles). Una vez ensamblada la cimbra era necesario asentarla en la posición adecuada con ayuda de andamios, máquinas e ingenios para elevarla.

Sobre la cimbra se iban apoyando de manera simétrica, comenzando por los puntos más bajos, las dovelas de piedra hasta completar el arco con la colocación de la dovela central llamada clave. Esta última piedra es la que transforma una masa pétrea inerte de bloques sueltos apoyados en la cimbra en un arco que es ya monolítico y autoportante. Entonces es posible retirar las cuñas de madera que fijan la cimbra y se puede proceder a desmontarla pudiéndose volver a utilizarla en la construcción de un nuevo arco de la misma luz.” ([G-V])

Concluyendo: Ni para la construcción del azud de captación de las aguas, ni para la construcción del canal en que transportar el agua una vez encauzada, ni para construir los catorce kilómetros de muro o el kilómetro de arquerías, se necesitaron las matemáticas. Tan solo se utilizó técnica, práctica y el saber hacer de leñadores, carpinteros, canteros, albañiles y todos los demás profesionales de la construcción que intervinieron en la ejecución de esta espléndida obra del ingenio.

4. Cómo hacer matemáticas con un acueducto

Aunque para construir el acueducto no se necesitó utilizar más matemáticas que las necesarias para contar y medir, el acueducto sí puede ser una herramienta estupenda para enseñar a hacer matemáticas. Veamos un ejemplo del tipo de ideas que pueden ser ilustradas con él, un ejemplo que además nos lleva a Arquímedes, el gran matemático que supo combinar sabiduría e ingenio en la construcción de muchas de las espléndidas máquinas que, en manos de los constructores romanos, hicieron posible el acueducto.

Las dovelas del acueducto tienen sus lados rectos (o casi, pues el cantero les dio algo de forma con su cincel), por lo que el arco que describen no es un la mitad de un círculo, sino la mitad de un polígono con un número suficiente de lados como para parecerse bastante a un semi-círculo. La forma poligonal de estos sillares de piedra que forman los arcos, ilustra maravillosamente el método para calcular el perímetro de un círculo desarrollado por Eudoxo (s. 4 a.C) y perfeccionado por Arquímedes (s. 3 a.C.) en su tratado Medida del círculo ([Ar], pp. 235-250). Este método, en el que se basa todo el cálculo de áreas e integrales desarrollado a partir del siglo 17 y hasta bien entrado el 20 por Cavalieri, Persone de Roberval, Torricelli, Newton, Leibniz, Euler, Cauchy, Riemann, Weiertrass, Peano y Lebesgue, consiste en ir inscribiendo en el círculo polígonos regulares, cada vez con un número mayor de lados. No tenemos más que ir calculando los perímetros de los sucesivos polígonos, algo que todos hemos aprendido a hacer en las clases de matemáticas, para obtener una aproximación todo lo buena que queramos a la longitud exacta del perímetro del círculo. Y si alguien pregunta por qué aproximación, por qué no cálculo exacto, entonces podemos echar marcha atrás y, retomando la cuestión de los irracionales de Teeteto, hablar de una de las más famosas proporciones inconmensurables: la formada por las longitudes de diámetro y perímetro en cualquier círculo, el famoso número pi.

Bibliografía

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[Aq] Aqua Romana: técnica humana y fuerza divina. Catálogo de una exposición en el Museo Arqueológico de Madrid, 2004-2005.

[Art] Artifex, Ingeniería romana en España. Catálogo de una exposición en el Museo Arqueológico de Madrid, marzo-julio 2002.

[Arq] Arquímedes, Medida del círculo. Tratados I, Bilblioteca Clásica Gredos, vol. 333.

[Bo] Boyer, Carl, Historia de la matemática, versión española de Mariano Matínez, Alianza Universidad Textos, 1994.

[Eu] Euclides, Elementos I-X, Biblioteca Clásica Gredos, vols. 155, 191, 228.

[E-V] Espigares, Antonio, Velázquez, Isabel, Glosario de términos de ingeniería civil, técnica, industria y oficios en latín, en [Ar].

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[Go] González Tascón, Ignacio, La ingeniería civil romana, en [Ar].

[G-V] González Tascón, Ignacio, Velázquez, Isabel, Ingeniería Romana en Hispania. Historia y técnicas constructivas, Fundación Juanelo Turriano, 2005.

[Lo] López Casado, C., Acueductos en España, Empúries 53 (1972). Dossier.

[Pla] Platón, Teeteto, Diálogos V, Biblioteca Clásica Gredos vol. 117.

[Pli] Plinio el Viejo, Enciclopedia natural, Libro 36, cap 4: Acueductos, 79 a.C., en [Aq].

[Ra] Ramírez Gallardo, Aurelio, Supervivencia de una obra hidráulica, El acueducto de Segovia, Artes Gráficas Soler, 1975.

[Ro] Royo Prieto, José I., Matemáticas y Papiroflexia, Sigma 21 (2002), pp. 175-192.

[Ùn] Miguel de Unamuno, Apuntes para un tratado de cocotología, Bib. Almacenes Generales de Papel, 1969.

[Vi] Vitrubio, Diez libros sobre arquitectura, Libro VIII, sección. 6-10, 27-23 a.C., en [Aq].

febrero 2006 nº 1

eladelantadodeindiana@gmail.com